N.Y.Cityのまちかど

図のような直角三角形が与えられた時、θの値が定まれば、3辺のうち2つを選んだ時、それらの比は必ず1つに定まる。θによって定まる辺の比を三角比という。

θの値はDigree[°]で表す場合と、ラジアン[rad]で表す場合があるが、本文書では特に注釈のない限りDigreeで表す。

三角比を、θを入力する関数として表したとき、これを「三角関数」という。 特によく用いられる基本的な三角関数は以下の3つである。

図で示すと次のようになる

直角三角形のうち、3辺の比がよく知られる θ＝30,45,60 に関しては、三角関数の値をすぐに求められる。

原点を中心とし、半径が斜辺の長さ a に相当する円Oを描く。 原点とX軸の成す角をθとして直線を引き、円との交点をAとする。 AからX軸へ向かって垂線を下ろし、X軸との交点を点Bとする。

このとき、点Aの座標を(c,b)、点Bの座標を(c,0)とする。

この時の三角関数の値は以下の式で求められる。

数式の形そのものは、最初の定義とおなじであるが、a,b,cは三角形の辺の長さではなく、aは円の半径、c,bは点Aのx座標、y座標として与えられている点が異なる。

例：θ＝90°の場合

原点中心、半径aの円を描き、x軸との角度90度の位置に線を引く。 円との交点から垂線をおろすと、この線はそのままy軸上を通るため、 垂線の長さbは円の半径aに等しくなり、cの値は0になる。従って点Aの座標は(0,a)となる。

故に、三角関数の値は以下のようになる。

例：θ＝0°の場合

原点中心、半径aの円を描き、x軸との角度0度に線を引く。 これはx軸と一致するため、円との交点からx軸へ垂線は下ろせない。 故にb=0。また、cの値はaと一致するため、点Aの座標は(a,0)となる。

故に三角関数の値は以下のようになる。

例：θ＝120°の場合

原点中心、半径aの円を描き、x軸との角度120度の位置に線を引く。 円との交点から垂線をおろしてその交点をBとする。 θ＝120°であるから、θ'=180-θ=60°と求められ、 これにより、三角形OABの各辺の比率はすぐにわかり、 仮にa=2とすれば、bの値は√3がわかる。

cの値を求めるときに注意しなくてはならないのは、点Aは原点の左側にあるから、 点Aのx座標はマイナスである。すなわち b=-1。 故に、三角関数の値は次のようになる。